Dieser Text beschreibt Formales System.
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Formales System ArtikelEin formales System ist ein System von Symbolketten und Regeln. Die Regeln sind Vorschriften für die Umwandlung einer Symbolkette in eine andere. Die Anwendung der Regeln kann dabei ohne Kenntnis der Bedeutung der Symbole erfolgen. Formale Systeme werden in verschiedenen wissenschaftlichen Disziplinen wie der Logik, Mathematik, Informatik und Linguistik benutzt.
Die Grundrechenarten der Arithmetik bilden das erste formale System, das in der Grundschule gelernt wird. Dort nimmt man Symbole für die Ziffern 1,2,3,4,5,6,7,8,9 und ein Symbol für die Null, nämlich 0. Die Addition erhält auch ein Symbol, '+'. Man kann jetzt die Symbole aneinanderreihen und erhält Symbolketten, wie zu dem Beispiel:
123+45
7+0
123456+666
Additionsregel: Nimm die beiden am weitesten rechts stehenden Ziffern jeder Ziffernfolge und ersetze sie durch folgende Vorschrift: 0+1=1, 1+1=2, 1+2=3, ... , 5+5=0+Übertrag, ... 9+9=8+Übertrag. Schreibe die sich ergebende Ziffern an die rechte Stelle der neuen Ziffernkette und merke dir den Übertrag. Nimm jetzt die zweitrechteste Ziffer jeder Kette und ersetze sie durch dieselbe Vorschrift. Falls ein Übertrag in dem vorhergehenden Schritt vorhanden war, wende die Ersetzung auf die neue Ziffer und 1 an. Ersetze die nächstlinke Stelle in dem Ergebnis durch das neue Symbol und merke dir wiederum den Übertrag. Setze das Verfahren fort, bis keine Ziffern mehr vorhanden sind. Falls eine Kette kürzer als die andere ist, ersetze fehlende Ziffern durch '0'. Falls am Ende ein Übertrag vorhanden ist, schreibe in dem Ergebnis ganz links eine '1'.
Die Kette
987+789
wird durch Anwendung dieser Additionsregel also durch die Kette
1776
ersetzt.
Die Regel addiert Zahlen in jedem beliebigen System (hier in dem Dezimalsystem). Es ist jedoch nirgends von einer Zahl die Rede. Tatsächlich operiert man ca. mit Ziffern. Hat ein Schüler das Verfahren häufig angewendet und geübt, so wird er sich keine Gedanken mehr darüber machen, wie es funktioniert und ob das Ergebnis eine korrekte Dezimalzahl ist. Dies liegt aber ca. an der korrekten Ausführung der Schritte in der Additionsregel.
Auch ein Rechner kann die Regel ohne weiteres anwenden, ohne eine Vorstellung von Zahlen oder eine Ahnung der Bedeutung der Ziffern 0 bis 9 zu haben. Die Regel kann rein mechanisch, also formal angewendet werden
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Ein formales System kann z.B. alle Kleinbuchstaben und das Leerzeichen als Symbole haben. Symbolketten können beliebige Folgen von – sinnvollen und sinnlosen
– Wörtern sein (es geht ca. um die Symbole, also Buchstaben). Eine mögliche Symbolkette ist hier:
er kam sah siegte
Als einzige Regel ersetzt man jeden Buchstaben durch seinen Nachfolger in dem Alphabet, also a durch b, b durch c und so fort. z wird durch a ersetzt. Aus der obenstehenden Symbolkette wird durch Anwendung der Regel:
fs lbn tbi tjfhuf
Dieses System wurde zur Verschlüsselung von Nachrichten eingesetzt, wie es schon in ähnlicher Form von Julius Cäsar benutzt wurde. Zur Entschlüsselung benutzt man ein gleichwertiges formales System, das jeden Buchstaben durch seinen Vorgänger ersetzt:
er kam sah siegte
Man kann die Regel auch mehrfach anwenden. Bei zweifacher Anwendung erhält man
gt mco ucj ukgivg
Die Verschlüsselungssystem weisen die Merkmale formaler Systeme auf:
- Eine Anzahl von Symbolen wird zu einer Symbolkette zusammengefasst.
- Die Bedeutung einer Symbolkette ist für die Anwendung der Umformungsregeln unwichtig.
- Die Regeln können formal (also rein mechanisch z.B. durch einen Rechner) angewendet werden.
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